Ֆունկցիայի առանձնահատկություների կիրառումը որոշակի խնդիրներում թույլ է տալիս գտնել առավել հարմար տարբերակով օպտիմալ լուծումներ:
Քառակուսային ֆունկցիայի (և ոչ միայն)՝ у = f(х) = ax2 + bx + c, հետազոտությանը հանգեցնող առաջադրանքների մեծամասնության դեպքում շատ օգտակար է պատկերացնել ֆունկցիայի գրաֆիկը, ինչպես նաև որոշ առաջադրանքների կատարման ժամանակ օդտագործել այդ ֆունկցիաների առանձնահատկությունները՝ առավել հեշտացնելով խնդրի լուծման եղանակը:
Եթե այն հատվում է Ох առանցքի հետ երկու կետերում (արմատներում) х1 և х2, ապա արմատների միջև у = f(х) ֆունկցիայի արժեքները հակադիր են а թվի նշանին, իսկ [х1; х2] հատվածից դուրս համընկնում են а թվի նշանի հետ:
Ընդ որում у = f(х) պարաբոլի գագաթը (աբսցիսը, որը հավասար է արմատների կիսագումարին՝
x0 = (x1+x2)/2) համապատասխանում է у = f(х) ֆունկցիայի էքստրեմումի կետին՝ մինիմումին, եթե а > 0, և մաքսիմումին, եթե а < 0:
Դրա կիրառությունը առավելապես հարմար կլինի այն դեպքերում, երբ ֆունկցիան ներկայացված է հետևյալ տեսքով՝ y=a(x-x1)(x-x2):
Մի շարք առաջադրանքների դեպքում օգտակար է կիրառել այսպիսի փաստ.
Եթե у = f(х) ֆունկցիան [а, b] հատվածում անընդհատ է և այդ հատվածի ծայրակետերում ընդունում է տարբեր նշանի արժեքներ, ապա a և b կետերի միջև ընկած է f(х) = 0 հավասարման արմատներից գոնե մեկը:
Նմանատիպ առաջադրանքների լուծման գրաֆիկական եղանակի դրական կողմերից հարկ է նշել, որ այս մեթոդը թույլ է տալիս լուծել այնպիսի հավասարումներ, որոնք մենք չենք կարող (կամ կդժվարանանք) լուծել անալիտիկորեն:
Այժմ դիտարկենք մի քանի դեպք, թե ինչպես կարելի է ֆունկցիաներն օգտագործել խնդիրների լուծման ժամանակ:
Մի քանի խնդիրների լուծման օրինակներ:
Խնդիր 1.
Հայտնի է, որ a+b+c<0 և ax2+bx+c=0 հավասարումն իրական արմատ չունի: Որոշեք c թվի նշանը:
Լուծում.
f (x) = ax2 +bx+ c
Քառակուսային հավասարումը իրական արմատ չունի, դա նշանակում է, որ այն պահպանում է նույն նշանը x արգումենտի բոլոր արժեքների համար:
Քանի որ f (1) = a+ b+ c <0, ապա f (0) = c <0:
Պատասխան ՝ c <0:
Խնդիր 2.
Ճիշտ է արդյոք, որ եթե b > a + c > 0, ապա ax² + bx + c = 0 քառակուսային հավասարումն ունի 2 արմատ:
Լուծում.
Դիտարկենք f(x) = ax² + bx + c ֆունցիան: Պայմանից հետևում է, որ
f(–1) = а – b + c < 0, իսկ f(1) = а + b + c > 0.
Այսինքն ֆունկցիայի գրաֆիկը պետք է հատի աբսցիսների առանցքը, իսկ քանի որ այն պարաբոլ է, հետևաբար այն հատում է այդ առանցքը 2 կետերում:
Պատասխան՝ ճիշտ է:
Դիտարկում. Խնդրի պայմանում a + c > 0 էական է, քանի որ օրինակ՝
b = 0-ի դեպքում, a = c = –1, կստանանք – x² – 1 = 0 հավասարումը, որն արմատներ չունի:
Խնդիր 3.
x-ի որ արժեքների դեպքում ՝
x4- 2x2+ a(7 cos x- 2x2)+ 7a2= 0 հավասարումն ունի միակ արմատը:
Լուծում.
Եթե տրված հավասարման լուծումը նշանակենք x0; ապա (- x0) -ն նույնպես կհանդիսանա տվյալ հավասարման լուծումը՝ հաշվի առնելով հավասարման ձախ մասի ֆունկցիայի զույգությունը: Այստեղից հետևում է, որ x0=0:
X=0-ի դեպքում Հավասարումը կունենա այսպիսի տեսք՝
7a+ 7a2= 0; a= 0 կամ a= -1:
Այսպիսով, պարամետրի թույլատրելի արժեքները կլինեն՝ 0 և -1:
Ստուգենք.
a= 0 -ի դեպքում մեր հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝
x4- 2x2=0;
x2(x2- 2)=0; x1=0; x2,3=± 2
Երեք լուծում, հետևաբար, 𝑎 = 0- ն չի բավարարում մեր խնդրի պայմանին:
𝑎 = −1 -ի համար հավասարումը ստանում է հետևյալ տեսքը՝
x 4 − 2x 2 − 7𝑐𝑜𝑠 x + 2 x 2 + 7 = 0 ⟹ x 4 + 7 = 7𝑐𝑜𝑠 x
Հավասարման ձախ կողմը x 4 + 7 ≥ 7 է, աջ կողմը ՝ 7𝑐𝑜𝑠x ≤ 7:
Այսինքն մեզ մնում է լուծել այս հավասարումների համակարգը:
7cosx = 7, x 4 + 7 = 7, որտեղ x = 0-ն միակ լուծումն է:
Այստեղից ՝ 𝑎 = −1:
Պատասխան ՝ 𝑎 = −1:
Խնդիր 4.
a և b պարամետրերի ո՞ր արժեքների դեպքում է (2a –b +1)x + 2a + b -3=0 հավասարումն ունի առնվազն երկու տարբեր լուծումներ:
Լուծում.
Ինչ վերաբերում է ցանկացած գծային հավասարման լուծումների բազմությանը, ապա հնարավոր են միայն հետևյալ դեպքերը. Լուծումը միակն է, լուծումներ չկան, և լուծումների բազմությունը համընկնում է
R- ի հետ, այնպես որ, եթե գծային հավասարումը առնվազն երկու տարբեր լուծումներ ունի, ապա հավասարման լուծումների բազմությունը անպայման համընկնում է R- իրական թվերի բազմության հետ: Դա հնարավոր է միայն և միայն այն դեպքում, երբ x- ի գործակիցը և հավասարման ազատ անդամը միաժամանակ հավասար են 0 - ի, այսինքն.
2a – b + 1 = 0; 2a + b – 3 = 0 ⇔ 2a – b = -1; 2a + b = 3 ⇔ a = 1/2, b = 2:
Պատասխան ՝ a = 1/2, b = 2: